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Mechanische Verfahrenstechnik-Partikeltechnik - Lehrstuhl für

Mechanische Verfahrenstechnik-Partikeltechnik - Lehrstuhl für.

Wie man die Verteilungstabelle abliest. Weil die Standardnormalverteilung so eine zentrale Rolle spielt (und, damit man sie nicht mit der Verteilungsfunktion von unstandardisierten Zufallsvariablen verwechselt), bekommt diese Verteilung meist einen eigenen Buchstaben, das griechische grosse Phi. Computes p-values and F values for the Fisher-Snedecor distribution. creditcardonline.pw - F-distribution calculator Enter either the p-value (represented by the blue area on the graph) or the test statistic (the coordinate along the horizontal axis) below to have the other value computed.

Sample Error Message

Masseverteilungen und umgekehrt Folie 1. Will man aus gegebener Masseverteilung die Anzahlverteilung gewinnen, so ist wie folgt vorzugehen: Die spezifische Oberfläche ergibt sich mit Hilfe der Anzahlverteilung wie folgt: Für die Umrechnung in die Mengenart Masse gilt mit der Gl.

Deshalb ist bei der numerischer Berechnung nach Gl. Weiterhin sind verschiedene graphische Methoden zur Ermittlung der spezifischen Oberfläche vorgeschlagen worden siehe z. In diesem Abschnitt wird ein Überblick über die dafür in Betracht zu ziehenden Methoden vermittelt. Letztere werden auch als Zählmethoden bezeichnet. Die zuerst genannte Gruppe lässt sich weiter in Klassiermethoden und Sedimentationsmethoden gliedern.

Man erhält folglich die Masseverteilungsdichte q3 di Die Siebung erfolgt entweder nacheinander auf Einzelsieben, wobei die Reihenfolge von fein nach grob sowie umgekehrt sein kann, oder die Prüfsiebe werden zu Siebsätzen zusammengestellt, siehe Folie 1. Im letztgenannten Falle ist nur die Anordnung von grob nach fein möglich.

Sieht man zunächst von den Methoden ab, die sich eines Fluidstromes für den Siebguttransport bedienen, so werden Sieb bzw. Dabei sollte innerhalb einer gewissen Zeit jedem Partikel Gelegenheit gegeben werden, jene Siebböden zu passieren, durch deren Sieböffnungen es aufgrund seiner Abmessungen schlüpfen kann. Folglich ist die Festlegung einer angemessenen Siebzeit ein wesentliches Problem. Allerdings ist die Abriebempfindlichkeit des Prüfgutes in diese Überlegungen einzubeziehen. Die Siebgutbewegung kann auch mit Hilfe eines Spülstromes geschehen Schlämmsiebung und Luftstrahlsiebung.

Die hinsichtlich ihrer Durchführung relativ einfach erscheinenden Siebmethoden dürfen aber keinesfalls unterschätzt werden siehe z. Hierbei werden die Unterschiede der Sinkgeschwindigkeiten bzw. Bewegungsbahnen ausgenutzt, die Körner in einem Fluid unter der Wirkung von Feld-, Strömungs- und Trägheitskräften erreichen bzw.

Als Wirkprinzipien siehe auch Abschnitt 4. Eine solche Trennung ist in Folie 1. Durch Wiederholen bei verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten bzw. Als Fluid kommt heute fast nur noch Luft in Betracht. Dementsprechend spricht man von Sichtmethoden. Für die Analyse muss zunächst eine genügend verdünnte Suspension vorliegen, in der die Körner dispergiert sind, so dass die Bedingungen einer unbehinderten Einzelpartikelsedimentation gegeben sind, d. Hinsichtlich der Messwertgewinnung ist nun noch weiter in inkrementale und kumulative Methoden zu gliedern.

Bei den inkrementalen Methoden erfasst man die Feststoffkonzentrationen in einem im Abstand H von der Suspensionsoberfläche befindlichen horizontalen Volumenelement dV Folie 1. Die Erfassung der Feststoffkonzentration im betrachteten Volumenelement geschieht vorwiegend gravimetrisch, d. Zu den kumulativen Sedimentationsmethoden zählen die Sedimentationswaagen Folie 1. Sowohl Suspensionsmethoden als auch Überschichtungsmethoden lassen sich in Schwerkraftfeld und in Zentrifugalkraftfeldern realisieren.

Je nachdem, ob die Partikel selbst oder ihre Abbildungen ausgemessen werden, spricht man von unmittelbaren oder mittelbaren abbildenden Methoden. Eine prinzipielle Voraussetzung für die Anwendung aller Zählmethoden besteht darin, dass der Messzone die Partikeln einzeln und nacheinander zugeführt werden.

Für unmittelbare mechanische Messungen kann man eine Partikelschiebelehre Folie 1. Die Feldstörung wird von einem Detektor in ein elektrisches Signal umgeformt. Beim Coulter-Prinzip werden die in einem Elektrolyten suspendierten Partikeln durch eine Mikroöffnung Düse gesaugt, in der ein elektrisches Feld anliegt siehe z.

Jeder Partikeldurchgang verursacht eine dem Partikelvolumen angenähert proportionale, kurzzeitige Widerstandsänderung, die als Spannungsimpuls erfasst wird. Die ausgenutzten physikalischen Effekte sind die Streuung und die Absorption von Lichtwellen an kleinen Partikeln. Dieses Gitter wird nun durch Kreisringblenden Durchmesser D1, D2 und durch eine Monoschicht der Partikeln gebildet verdünnte Suspensionen oder Aerosole , deren Bewegung das Beugungsmuster nicht ändert.

Damit ist auch eine Messung bei kontinuierlicher Zufuhr möglich. Die empfangene Lichtintensität hängt sehr stark vom Streuwinkel ab. Lichtstreuung in einer kolloiden Lösung Folie 1. Tomas 5 Einstein, A.

Physik 19 Infolgedessen wird in den späteren Abschnitten vorwiegend auf die für die in der MVT wichtigen Methoden zurückgekommen. Stellt man diese Gl. Dies bildet die physikalische Grundlage für die Permeabilitätsmethoden zur Oberflächenbestimmung. Xg X g ,mono 0 Bild 1. Allerdings wird bei höheren Gaspartialdrücken der Beladungsanstieg in der Regel immer steiler. Mehrschichtadsorption Dies ist zunächst auf die Adsorption in mehreren Schichten zurückzuführen Bild 1.

Tomas 6 http: Dazu wird die Probe unter Vakuum oder einem Inertgas aufgeheizt. Hohe Temperaturen verbessern die Desorption, erhöhen jedoch die Gefahr von Oberflächenveränderungen Sintern, thermisches Zersetzen usw. Der erreichte Oberflächenzustand hängt von den gewählten Desorptionsbedingungen und deren zeitlicher Dauer ab. Reproduzierund vergleichbare Oberflächenmessungen lassen sich nur erzielen, wenn die Probenvorbehandlung unter denselben Bedingungen durchgeführt wird.

Bei Angabe eines mit einem bestimmten Gerät ermittelten Zahlenwertes für die spezifische Oberfläche ist daher stets die Probenvorbehandlung mit anzugeben.

Der verwendete Zahlenwert ist deshalb ebenfalls anzugeben siehe auch [W. Adsorption aus der Gasphase] , Tab. Dabei wird das Sorbatvolumen aus der Druckerniedrigung der Gasphase beim Sorptionsvorgang bestimmt. Während bei den gravimetrischen Methoden die Sorbatmenge direkt an der Probe ermittelt wird, bestimmt man die Adsorptmenge bei den volumetrischen Methoden aus der Druckänderung der Umgebungsphase.

Eine Zusammenstellung von Adsorptionsisothermen s. Für Routinemessungen besonders interessant sind die sog.

Sie haben unter Berücksichtigung der jeweils angestrebten Aussage eine unterschiedliche Verbreitung gefunden. For additional information, see the Global Shipping Program terms and conditions - opens in a new window or tab This amount includes applicable customs duties, taxes, brokerage and other fees.

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Hierzu soll wieder die Brenndauer einer hypothetischenGlhbirne betrachtet werden Beispiel 1. Es wird nun angenommen, dass ei-ne zufllige Stichprobe von 30 Glhbirnen gezogen wurde. Der nchste Schritt istnun, die Glhbirnen in der Stichprobe zu untersuchen, d. Wir wollen auch davonausgehen, dass dies bereits geschehen ist und die 30 beobachteten Zahlen fr dieBrenndauern genau die Werte aus Tabelle 1. Das dazugehrige Histogrammwurde bereits in Abb.

Allgemein geben die Beobachtungen nur Aufschluss ber die Brenndauern inder Stichprobe. Tatschlich ist man jedoch an der Brenndauer der Glhbirnen inder Grundgesamtheit interessiert.

DieKurve ist das Modell fr die Brenndauer in der Grundgesamtheit, das man aus denStichprobendaten erhlt. In den folgenden Kapiteln wird ausfhrlich beschrieben,wie man solche Modelle berechnet. Im Moment soll nur betont werden, dass dieseKurve als geglttete Version des Histogramms aufgefasst werden kann.

Genau wie das Histogramm sagt auch die Kurve, wo die Punkte konzentriertsind. So kann man z. Die Kurve heit Dichtefunktion, da sie etwas ber die Dichte der Punkte sagt.

Es handelt sichbrigens um eine so genannte Normalverteilung, die im weiteren Verlauf diesesBuches und in der Statistik allgemein eine bedeutende Rolle spielt und zum Beispielauch auf dem ehemaligen 10 DM-Schein abgebildet war. Charakteristisch fr die Dichtefunktion ist die Tatsache, dass die Flche zwischenihr und der x-Achse immer genau 1 betrgt. Die Dichtefunktion ermglicht es, denAnteil der Brenndauern in der Grundgesamtheit, der in ein bestimmtes Intervall36 1 Einfhrungfllt, zu schtzen.

Angenommen, man mchte schtzen, wie viele Glhbirnen derGrundgesamtheit eine Brenndauer zwischen und Stunden haben. Dieskann berechnet werden durch die Gre der Flche unter der Kurve zwischen denbeiden Punkten oder besser vertikalen Linien und Berechnet man die Gre der Flche, so erhlt man denWert 0. Da alle dieseGlhbirnen derjenigen hnlich sind, die man kaufen mchte, kann man das Resul-tat auch so interpretieren: Die Dichtefunktion in den Abbildungen 1. Zumin-dest ist dies die konkreteste Antwort, die man berhaupt auf diese Frage bekommenkann.

Man wei immer noch nicht genau, wie lange die gekaufte Glhbirne brennenwird, aber man kann mit Hilfe der Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten fr alle inFrage kommenden Mglichkeiten geben. Sie ist etwas anderes. Tatschlich ist sie eines der faszinierendstenObjekte in der Mathematik. Man nennt sie eine Zufallsvariable. In spteren Kapi-teln wird noch genau definiert, was unter einer Zufallsvariablen zu verstehen ist.

Im Rahmen dieses Buchs werden Zufallsvariablen mit Grobuchstaben bezeich-net, wie z. Damit sollen sie von gewhnlichen Variablen unterschiedenwerden. Im Folgenden werden noch einmal die Eigenschaften vonX betont. Eine Zufallsvariable X ist kein einzelner Wert.

X hat einen ganzen Bereichmglicher Werte. Es sieht so aus, als ob die Brenndauer der Glhbirne irgendwo zwischen 0 und Stunden liegt. Wenn man sehr viel Glck hat, brennt sie lnger. Diese Mg-lichkeit ist nicht auszuschlieen. Vielleicht hlt sie Stunden, vielleicht auchnoch lnger. Daher sollen als Wertebereich von X alle Zahlen betrachten, die grerals 0 sind. Das Verhalten einer Zufallsvariablen X kann durch Wahrscheinlichkeitenbeschrieben werden.

Es ist im Moment noch nicht wichtig, alle Details ber die Kurve zu behalten,die als Dichtefunktion bezeichnet wurde. Es ist nur wichtig, zu verstehen, dass es instochastischen Situationen nur mglich ist, Wahrscheinlichkeiten fr gewisse Dingeanzugeben.

Das bedeutet, Entscheidungen beruhen auf Wahrscheinlichkeiten, nichtauf Gewissheiten. Im weiteren Verlauf des Buches werden Dichtefunktionen nocheine groe Rolle spielen und im Detail erklrt. Angenommen, die gekaufte Glhbirne soll mindestens Stunden glhen. Die Wahrscheinlichkeit ist durch die Flche unterhalb der Dichtefunktion rechtsvon gegeben. Diese Flche ist in Abb. Wenn man also tatschlich eine Glhbirne braucht, die lnger als Stundenbrennt, sollte man eine andere Sorte whlen und mit der ganzen Prozedur von vor-ne beginnen.

Andererseits ist man vielleicht schon zufrieden, wenn die Glhbirnelnger als Stunden brennt. Ein Blick auf Abb. Die Flche, die man jetzt berechnen muss, ist diejenige unter der Dichte-funktion rechts von Diese Flche betrgt 0. Es wurde gezeigt, dass die Antwort auf die ursprngliche Frage Wie lange wirddiese Glhbirne brennen? Wenn man also nach der Brenndauer einer Glhbirne gefragt wird,38 1 Einfhrungkann man als Antwort keine Zahl geben, sondern ein Bild wie das in Abb. Da-mit besteht die Antwort auf die Frage aus einer ganzen Reihe von Mglichkeiten,und es wurden Informationen aus der Stichprobe genutzt, um die Wahrscheinlich-keiten dieser Mglichkeiten zu schtzen.

Die Geschichte mit der Glhbirne ist allerdings noch nicht zu Ende. Man nimmtdie Glhbirne schlielich mit nach Hause, benutzt sie und eines Tages geht sie ka-putt, z. Zu diesem speziellem Zeitpunkt geschieht etwas sehrBedeutendes. Alle Ungewissheit, ber die so lange gesprochen wurde, verschwin-det in diesem Moment. Die Brenndauer einer Glhbirne wird pltzlich zu einergewhnlichen Zahl: Die Frage nach der Brenndauer der Glhbirne begann mit einer kompliziertenSache, die Zufallsvariable genannt wurde und die nur durch Wahrscheinlichkeitenbeschrieben werden kann.

Nachdem die Glhbirne durchgebrannt ist, ist die Ant-wort auf die Frage eine einfache Zahl. Die tatschliche Brenndauer der Glhbirnewurde beobachtet. In der Statistik drckt man das folgendermaen aus: Damit hat die ursprngliche Frage zwei verschiedene Antworten: Bevor die Glhbirne kaputt geht, kann die Antwort nur durch das Nennen mg-licher Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten gegeben werden.

Nachdem die Glhbirne kaputt ist, wird die Antwort zu einer gewhnlichen Zahl. Die Unbestimmtheit ist nach dem Durchbrennen der Glhbirne verschwunden. Derwichtige Punkt ist natrlich, dass man sich entscheiden muss, die Glhbirne zu kau-abAbb. Dasselbe pas-siert bei unzhligen anderen Entscheidungen, die man jeden Tag treffen muss. Investition von 1 eAngenommen, man htte e zur Verfgung und mchte diese fr ein Jahranlegen. Zum einen besteht die Mglichkeit, das Geld zu einem festen Zinssatz, z.

Wenn man das Risiko ignoriert, dass die Bank inKonkurs geht, ist dies eine sichere Anlage und selbst dann wre das Geld bei einerdeutschen Bank abgesichert. Man wei, dass man nach einem Jahr e habenwird. Dies ist ein deterministischer Zusammenhang. Als Alternative knnte man das Geld auf dem Aktienmarkt anlegen. Sie ist eine Zufallsvariable. Angenommen, man hat die Dichtefunktion dieser Zu-fallsvariablen durch die Kurve in Abb.

Das Bild verdeutlicht, dass guteChancen bestehen, mehr Geld zu bekommen, wenn man in Aktien investiert. Jedochgibt es auch eine positiveWahrscheinlichkeit, dass man nach einem Jahr weniger als e erhlt, evtl. Dieses Beispiel kann man auch anhand der realen Daten aus Beispiel 1. Htte man dagegen erst am Es kann aber auchim folgenden Jahr alles ganz anders kommen. Erst nach Ablauf des Jahres wirdman wissen, was man htte tun sollen. Die Zufallsvariable wird dann eine Reali-sation sein und damit einen konkreten Wert haben.

Die Statistik kann zwar nichtsagen, welche Entscheidung die bessere ist, sie kann aber Methoden anbieten, mitderen Hilfe man das Risiko, das mit den verschiedenen Mglichkeiten verbundenist, abwgen kann.

Diese Methoden werden z. Was unter demBegriff deskriptive Statistik zu verstehen ist, wurde bereits kurz angesprochen: Un-ter deskriptiver Statistik versteht man alle Methoden, Formeln und grafischen Ver-fahren zur Beschreibung beobachteterWerte eines Merkmals in einer Grundgesamt-heit oder Stichprobe.

Alternativ wird auch von beschreibender Statistik gesprochen. Es existiert eine Vielzahl von Methoden zur Beschreibung von Daten, mehr als inmehreren Kapiteln behandelt werden knnte. Aus diesem Grund werden hier nurdie wichtigsten Methoden dargestellt. Die hier vorgestellten Methoden stehen in en-gem Zusammenhang zu den stochastischen Problemstellungen der spteren Kapitelund knnen deshalb als Grundlage betrachtet werden.

Wir beginnen mit Beschreibungsformen fr diskrete Merkmale. Zunchst sollenanhand eines sehr einfachen Beispiels einige Notationen, Definitionen und Formelnerlutert werden.

Menschen, Glhbirnen, Autos,Bumen, Aktien, usw. Gewhnlich sind wir daran interessiert, ein oder mehrereMerkmale dieser Einheiten zu untersuchen. Im Beispiel mit den Glhbirnen wa-ren wir an der Brenndauer interessiert. In diesem Beispiel waren die Unterscheidungs-merkmale, ob die IndividuenAsprin nahmen oder nicht, und ob sie einen Herzanfallhatten oder nicht.

Die Merkmale, die wir in der Statistik untersuchen, knnen also sehr verschie-denartig sein. Es knnen Zahlen sein oder andere Beschreibungsarten. Zunchst betrachten wir qualitative Merkmale. Es handelt sich um Eigenschaf-ten der Untersuchungseinheiten, die nur der Qualitt nach bestimmt werden knnen. Die Augenfarbe ist ebenfalls ein qualitatives Merkmal, dasauf mehrere Weisen klassifiziert werden kann.

Alternativ knnten wir dieAugenfarbe in vier Klassen aufteilen: Ein weiteres Beispiel fr ein qualitatives Merk-mal sind Automarken. Ein letztes Beispiel fr ein qualitatives Merkmal ist, ob ein Mensch einen Herzan-fall hatte oder nicht. Die beiden Ausprgungen sind hier Ja und Nein. Die Ausprgungen eines qualitativen Merkmals sind nach ihrem Charakter nichtzwangslufig mit Zahlen verknpft. Sie werden nur durch ihre Namen unterschie-den, lassen sich aber nicht quantitativ messen, z.

Deshalb bezeichnen wirsolche Merkmale auch als nominal skalierteMerkmale nominal wie Name. Die nchste Klasse von Merkmalen sind rangskalierte Merkmale, wie z. Schulnoten, die gewhnlich in sehr gut, gut, befriedigend usw. Gold, Silber, Bronze, Gteklassen, z. Wahl oder Ia, Ib. Die Ausprgungen der rangskalierten Merkmale besitzen eine eindeutige Ord-nung, aber sie besitzen keinen absoluten Wert wie 20 cm oder 10 kg.

Im Beispielder Schulnoten ist sehr gut eindeutig besser als gut, aber ob sehr gut zweimal odernur einmal besser ist als gut knnen wir nicht sagen. In vielen Fragebgen wird verlangt, sich fr eine der folgenden Mglichkeitenzu entscheiden vergleiche auch Evaluierungsbgen: Sehr dagegen, Dagegen, Gleichgltig, Dafr, Sehr dafr.

Dies ist ein weiteres Beispiel fr rangskalierte Merkmale. Man nennt diese Merk-male auch ordinalskalierteMerkmale ordinal wie geordnet. Die dritte Kategorie, die quantitativen Merkmale, sind diejenigen, deren Aus-prgungen sich durch Zahlen beschreiben lassen. Diese Merkmale sind hufig Mes-sungen oder Zhlungen, z. Diese Merkmale heien deshalb auch metrische Variablen. Es gibt gute Grnde, warum man sich diese Mhe macht, die Merkmale zu klas-sifizieren.

Zwei sollen hier genannt werden: Erstens soll gezeigt werden, wie vielfltig die verschiedenenMerkmale sind, diemit Methoden der Statistik untersucht werden knnen. Zweitens, das ist der wichtigere Grund, muss man zur Untersuchung verschiede-ner statistischer Merkmale verschiedene statistische Methoden heranziehen. Um dies zu verdeutlichen, folgt ein einfaches Beispiel. Betrachten wir die Popu-lation aller Studierenden in Gttingen. Das uns interessierende Merkmal sei dasverfgbare Einkommen.

Es ist dann sinnvoll von dem durchschnittlichen verfgba-ren Einkommen zu sprechen. Wren wir aber an der Augenfarbe interessiert, wrees unsinnig, von einer durchschnittlichen Augenfarbe zu sprechen. Wir knnen ausqualitativen Merkmalen keine Durchschnitte bilden, weil sie keine Zahlen sind. Eine weitere, etwas schwierigere Unterscheidung quantitativer Merkmale ist dieFolgende. Es gibt zwei Typen quantitativer Merkmale: Diskrete Merkmale haben eine abzhlbare Anzahl mglicherAusprgungen.

Fr unsere Zwecke ausreichend ist die folgende Regel: Ein Merkmal ist diskret, wenn seine Ausprgungen in einer Folge aufgelistetwerden knnen.

Ein Merkmal ist stetig, wenn es nicht diskret ist. Gewhnlich umfassen die Ausprgungen eines stetigen Merkmals ein Intervallder reellen Zahlengeraden. Besitzt ein Merkmal nur eine endliche Anzahl vonAusprgungen, so ist es immer mglich, alle Ausprgungen aufzulisten.

Daher istein Merkmal mit endlich vielen Ausprgungen diskret. Auch alle qualitativen undrangskalierten Merkmale sind diskret, da sie in der Regel nur endlich viele Aus-prgungen auf jeden Fall aber hchstens abzhlbar unendlich viele Ausprgungenbesitzen.

Menschen danach klassifizieren, ob sie einen Herzanfallhatten oder nicht, so gibt es nur 2 Ausprgungen. Merkmale mit endlich vielen Ausprgungen sind diskret, das heit qualitative Merkmale sind diskret, rangskalierte Merkmale sind diskret. Wenndas Flugzeug maximal Passagiere mitnehmen kann, dann sind die mglichenWerte, die wir beobachten knnen 0,1,2,. Wir haben uns nun mit Merkmalen befasst, die eine endliche Anzahl von Aus-prgungen besitzen. Nun sollen Beispiele folgen, bei denen die Anzahl der mg-lichen Ausprgungen nicht endlich ist.

Die Anzahl der Kinder in einer Familie ist0,1,2,3,. Nach unserer Definition handelt es sich um ein diskretes Merkmal, weildie mglichen Ausprgungen in einer Folge aufgelistet werden knnen.

Man knntenatrlich sagen, die Anzahl der Kinder in einer Familie sei in jedem Fall endlich unddie Kinderzahl daher ein diskretes Merkmal theoretisch sind aber unendlich vieleKinder denkbar. Betrachten wir als Gegensatz hierzu die Brenndauer einer Glhbirne. Auch hiersind unendlich viele Ausprgungen mglich. Die mglichen Beobachtungen sindalle positiven reellen Zahlen.

Der Unterschied zur Anzahl der Kinder ist jedoch,dass man nicht in der Lage ist, alle reellen Zahlen, die grer sind als Null, in ei-ner Folge aufzulisten. Stellen wir uns vor, wir wollten dies tun und begnnen mit 0. Welches ist die nchste Zahl? Es ist nicht 0. Es gibt keine Zahl, die 0 amnchsten ist. Das Merkmal Brenndauer ist also stetig. Die mglichen Beobachtun-gen liegen im Intervall [0,].

Andere Beispiele fr eine stetige Zufallsvariable sinddie Flugdauer eines Linienfluges man kann die Zeit theoretisch auf beliebig vieleNachkommastellen genau messen oder die Schwingungsdauer des realen Pendels.

Geschlecht nominal-skaliert Merkmal 2: Reaktion auf Fischgerichte ordinal-skaliert Merkmal 3: Alter quantitative Variable Tabelle 2. Die Symbole zur Kennzeichnung der Ausprgungen des Merkmals 2 wer-den heutzutage oft in Zeitungen oder im Marketing verwendet. Das Merkmal istordinal-skaliert, weil man die Symbole bzw. Die Reihenfolge der Prferenzen ist: Diese Teilmenge der Ergebnismenge werden wir mit A bezeichnen: Das Ereignis F tritt nicht ein,weil 4 kein Element von F ist.

Wir werden mit den einfachsten Ergebnismengen anfangen, nmlich denen, dienur eine endliche Anzahl von Ausgngen haben. Die mglichen Ausgnge werdenmit kleinen Buchstaben bezeichnet, so dass man eine Ergebnismengemit n endlichvielen Ausgngen wie folgt notieren kann: Sie haben im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten spezielle Na-men: Eines der Ergebnisse e1, e2, Zufllige Ereignisse, die nur aus einem Element bestehen, heien Elementarer-eignisse: Um mit ihnen zu arbeiten, brauchen wir die blichen Operationen derelementaren Mengentheorie.

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist dieTerminologie anders, was man bereits an den oben genannten Begriffen erkennt: Statt leere Menge verwendet man unmgliches Ereignis. Statt Gesamtmenge sagt man sicheres Ereignis oder Ergebnismenge. Man bezeichnet ein Element als Ergebnis. In manchen Bchern wird Ac oder auch A statt A geschrieben. Sie sagt nur, welche Bedingungen die Funkti-on P erfllen muss, bevor wir sie als Wahrscheinlichkeit bezeichnen drfen. DieAxiome bestimmen die Rahmenbedingungen oder Regeln, sie bestimmen nicht dasDetail.

Um P zu definieren,mssen wir allen Ereignissen Werte zuordnen. Wir werden 5 Mglichkeiten sieheTabelle 3. Alle Bedingungen sind erfllt. Die Mnze ist auch fair. Die Mnze ist verzerrt, aber alle Bedingungen sind erfllt, d.

Die Mnze landet immer auf dem Kopf, aber alle Bedingungen sind auchhier erfllt. Diese Funktion ist keine Wahrscheinlichkeit, weil nicht alle Bedingungenerfllt sind: Das wre eine sehr mhsame Aufgabe. Glcklicherwei-se kann man sich diese Mhe sparen: Bei endlichen Ergebnismengen reicht es aus,wenn man die Wahrscheinlichkeiten fr die Elementarereignisse hat. Alle anderenWahrscheinlichkeiten kann man dann nach dem Axiom A3 berechnen. Nehmen wir an, hat n endlich viele Elemente einige Beispiele finden wir inTabelle 3.

Man knnte die Wahrscheinlichkeiten beispielsweise so bestimmen: Wir kn-nen mit den Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse die Wahrscheinlichkei-ten aller anderen Ereignisse berechnen, z. Wichtiger als die Beweise istjedoch, dass man diese Formeln gut versteht und verwenden kann. Wir werden dieFormeln deshalb anhand des Wrfel-Beispiels verdeutlichen, wobei der betrachteteWrfel fair sein soll, d.

Das Problem ist, die Bestimmung bzw. Schtzung der Wahrscheinlichkeit eines interessierenden Ereignisses. Dies ist keineso einfache Aufgabe, wie etwa den Logarithmus einer Zahl in einer Tabelle abzule-sen. Es gibt keine Tabelle, aus der man die Wahrscheinlichkeit ablesen kann, dasses morgen einen Brsencrash geben wird.

Es ist eine der Hauptaufgaben der Sta-tistik, Mglichkeiten zur Berechnung oder Schtzung von Wahrscheinlichkeiten frEreignisse zu entwickeln. Wir wollen uns nun nher mit der Frage befassen, wie man interessierenden Er-eignissen Wahrscheinlichkeiten zuweisen kann. Es gibt zwei Mglichkeiten, zufl-ligen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, und zwar auf der Grundlage von Vermutungen Annahmen und theoretische berlegungen , oder von Erfahrungen Beobachtung.

Betrachten wir noch einmal die Bei-spiele a bis e , die wir am Beginn dieses Kapitels genannt haben. Im Beispiel a ist man oft bereit anzunehmen, dass die Mnze symmetrischist, d. Wir haben also 2 Wahrscheinlichkeiten, die sich aufEins summieren und die gleich gro sind. Wir haben diese Wahrscheinlichkeiten durch eine Annahme Sym-metrie und theoretische berlegungen die Axiome bestimmt. Mit dieser Vorgehensweise knnen wir auch fr das Beispiel b die Wahrschein-lichkeiten bestimmen: Alle 6 Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich.

Die Summe der zugehrigen sechs Wahrscheinlich-keiten muss Eins sein. Man knnte die Wahrscheinlichkeiten schtzen, wennman die dicke Mnze einige Male wirft. Das heit, man muss experimentieren undbeobachten Fall 2. Beispiel d ist noch problematischer, weil wir nicht experimentieren knnen. Auch wenn wir das knnten, htten wir keine Lust dazu. In diesem Fall bestehtdie Mglichkeit, hnliche Situationen zu betrachten. Nehmen wir im Beispiel e an, jemand aus Gttingenmchte sein Fahrrad gegenDiebstahl versichern.

Ob das Fahrrad gestohlen wird oder nicht, kann man nicht imVoraus sagen. Die Versicherungen mssen aber schtzen, wie hoch dieses Risikoist, um den Beitrag zu bestimmen. Die Beispiele c e zeigen folgendes: Wenn man das Zufallsexperiment untergleichen oder hnlichen Bedingungen wiederholen kann, dann kann man beob-achten, wie oft das interessierende Ereignis eintritt, und somit dessen Wahrschein-lichkeit schtzen.

Genauso geht man auch in der Praxis vor. Wir haben gesehen, dass es fr manche Zufallsexperimente plausibel ist anzu-nehmen, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Ein Zufallsexperiment, das sich durch eine endliche Ergebnismengebeschreiben lsst, heit symmetrisch, wenn alle Elementarereignissedieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel fr ein symmetrisches Zufallsexperiment: Neh-men wir an, dass zwei Mnzen gleichzeitig geworfen werden, ein Eurostck und einaltes Markstck. Die Ergebnismenge hat das folgende Aussehen: Die erste zeigt an, wie der Eurofllt, die zweite, wie das Markstck fllt.

Fr symmetrische Zufallsexperimente lassen sich die Wahrscheinlichkei-ten beliebiger Ereignisse also scheinbar leicht berechnen. Es gibt aber doch manch-mal eine Schwierigkeit. Das Problem ist es nmlich herauszufinden, wieviele Ele-mentarereignisse es in einer gegebenen Ergebnismenge bzw. Wahrscheinlichkeiten fr Kartenspiele sind typische Beispiele, bei denen es zuderartigen Schwierigkeiten kommt.

Hier ist ein Beispiel, dass wir allerdings nichtlsen werden: Wir mischen einen Stapel mit 52 Pokerkarten also Ass, 2,3,. Anschlieend ziehen wir4 Karten aus dem Stapel; die 4 Karten ergeben eine Hand. Es handelt sich um einsymmetrisches Zufallsexperiment mit sehr vielen Elementarereignissen.

Ein bei-spielhaftes Elementarereignis ist: Die Wahrscheinlichkeit von Aist nach der einfachen Formel: Wenn man viel Zeit und nichts besseres zu tun hat, knnteman versuchen, alle Elementarereignisse aufzuschreiben und zu zhlen. Die Theo-rie, die entwickelt wurde, um solche Zhlprobleme zu lsen, ist dieKombinatorik. Diese Theorie ist interessant, aber fr das Grundverstndnis von Statistik in denWirtschafts- und Sozialwissenschaften weniger bedeutend.

Aus diesem Grund ge-hen wir in diesem Kapitel nicht weiter darauf ein. Es geht da-rum, wie man beispielsweise folgende Aussagen interpretieren kann: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mnze Kopf zeigt, ist 0.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich heil nach Rom komme, ist 0. Wir wollen uns die Interpretationsmglichkeiten an einem Beispiel verdeutli-chen. Nehmen wir an, dass uns ein Ereignis A interessiert und dass wir das zugeh-rige Zufallsexperiment n-mal wiederholen. Zunchst wird die Notation erweitert: Die interessierenden Ereignisse seien: Was passiert mit den relativen Hufigkeiten, wenn wir das Experiment nicht nurmal, sondern mal oder 10 mal wiederholen?

Die Frage, wie sich dierelativen Hufigkeiten verhalten, wenn man n, die Anzahl der Wiederholungen desExperiments, immer grer werden lsst, hat Statistiker schon seit langem interes-siert. Heute kann man solche Experimente in Sekunden mit einem Rechner simu-lieren.

Die Ergebnisse sind in Tabelle 3. Grafisch ist die Entwicklung der relativen Hufigkeit in Abb. So erhlt man einenPfad der relativen Hufigkeiten. Ein hnliches Beispiel wurde von J. Kerrich whrend des Krieges ineinem dnischen Internierungslager durchgefhrt. Er wurde spter Statistikprofessor. Er be-obachtete nach dem letzten Wurf eine relative Hufigkeit von 0.

Die beiden Beispiele verdeutlichen, dass sich die relativenHufigkeiten auf einenfesten Wert einpendeln. Dieses Einpendeln ist auch als Gesetz der groen Zahlenbekannt: Dies ist allerdings nur eine Interpretationdes BegriffsWahrscheinlichkeit. Man nennt sie die relative Hufigkeitsinterpretati-on oder Frequency Interpretation.

Diese Interpretation der Wahrscheinlichkeiten als Grenzwert relativer Hufigkei-ten ist nicht unumstritten. Man argumentiert, dass gewisse Experimente nicht be-liebig oft unter den gleichen Bedingungen wiederholt werden knnen. Denken wiran das Beispiel mit dem Flug nach Rom.

Es ist nicht mglich, dieses Experimentviele Male unter den gleichen Bedingungen durchzufhren. Hier ist zu fragen, wasunter gleichen Bedingungen zu verstehen ist. Identische Bedingungen lassen sich indiesem Fall nicht wiederholen. Vielleicht kann man annehmen, dass die bisherigenFlge von Frankfurt nach Rom unter hnlichen Bedingungen stattgefunden haben,und die Interpretation von Wahrscheinlichkeiten mittels relativer Hufigkeiten den-noch verwenden.

Wenn die bisherigen Flge ohne Schwierigkeiten verlaufen sind,knnen wir uns damit trsten. Wenn man die bisherigen Flge aber nicht als hnlichbezeichnen kann, ntzt uns diese Interpretation von Wahrscheinlichkeit nicht.

Es gibt weitere Situationen, in denen es nicht mglich ist, ein Experiment vieleMale unter hnlichen Bedingungen durchzufhren. Soll beispielsweise ein Kern-kraftwerk gebaut werden, beginnt in dem Moment, in dem das Kernkraftwerk inBetrieb geht, das Zufallsexperiment. Die uns interessierende Ergebnismenge ist: Die zweite Interpretation von Wahrscheinlichkeiten kommt von den sogenann-ten Subjektivisten.

Sie sind der Meinung, dass Wahrscheinlichkeiten nur subjektivzu interpretieren sind. Wir wgen die Information, ber die wir verfgen, ab. Die Interpretation mittels relativer Hufigkeitenist die folgende: Der Subjektivist wrde die Wahrscheinlich-keit anders interpretieren. Zunchst wrde er kritisieren: Niemand wird diese Mnzeviele Millionen mal werfen.

Also, was soll dieser Unsinn? Er oder sie wrde seineInterpretation alsWette ausdrcken: Wenn ich Ihnen 1 e gebe, falls Kopf erscheint,wre die Wette fair, wenn Sie mir 1 e geben, falls Zahl erscheint. Ein Problem dieser Interpretation ist, dass zwei verschiedene Personen zwei ver-schiedene Wahrscheinlichkeiten fr dasselbe Ereignis geben knnen. Das strt dieSubjektivisten nicht, weil sie der Meinung sind, dass Wahrscheinlichkeit sowiesokein objektives Ma ist, wie etwa Lnge, Temperatur oder Alter.

Jeder kann Wahr-scheinlichkeit nur fr sich selbst abschtzen, anhand einer Mischung aus Intuition,Erfahrung, aber auch unter Bercksichtigung objektiver Fakten, die z.

Fr welche Interpretation man sich aber entscheidet, es herrscht Einigkeit berdie Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie und auch alle Folgerungen aus diesenAxiomen. Es sollen hier noch zwei weiterfhrende Bemerkungen gemacht werden, die ei-gentlich zum ersten Teil des Kapitels gehren. Die erste Bemerkung bezieht sichauf die eingangs eingefhrten Axiome.

Wenn die Ergebnismenge unendlich vieleElemente besitzt, muss das Axiom A3 verallgemeinert werden. Hier sind zur Erin-nerung zunchst noch einmal die ursprnglichen Axiome angegeben: Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Funktion P, die allen Ereignissen aus einereelle Zahl zuordnet, wobei die Funktion die drei folgenden Axiome erfllen muss: Die zweite Bemerkung betrifft den Fall, dass die Ergebnismenge unendlich vieleund darber hinaus berabzhlbar viele Elemente besitzt.

Man verdeutliche sich,dass bei der ersten Bemerkung zwar von unendlich vielen Elementen die Rede war,diese jedoch abzhlbar, also diskret sind. Beispiele, in denen die Elemente nichtabzhlbar, also berabzhlbar sind, sind: Um deren Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu knnen, reicht es, wenn man in derLage ist, die Wahrscheinlichkeiten fr beliebige Teilintervalle der Ergebnismengeanzugeben. Wenn die Ereignisse aus berabzhlbar viele Elemente haben, kann man dieWahrscheinlichkeiten bestimmen, indem man eine Formel fr die Wahrscheinlich-keiten von Teilintervallen aus verwendet: Betrachten wir dazu noch einmal das ZufallsexperimentWurf eines normalen Wr-fels.

Nehmen wir an, dass wir die Wahrscheinlichkeit berechnen mchten, mit dereine gerade Augenzahl gewrfelt wird, d. Nun gehen wir davon aus, dass jemand anders den Wrfel wirft, uns aber nichtdie gewrfelte Augenzahl verrt, sondern uns nur berichtet, dass das Ergebnis nichtdie 6 ist.

Diese modifizierte Wahr-scheinlichkeit nennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Zusammenfassend kann man die Abfolge, die zu einer bedingten Wahrschein-lichkeit fhrt, wie folgt darstellen: Um eine bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, verwendet man die folgen-de einfache Formel: Die bedingte Wahr-scheinlichkeit von A, gegeben B, ist definiert durch: Es ist auch logisch, dass P B nicht Null sein darf, da wir ja gesagt haben,dass B eingetreten ist, und das kann nicht passieren, wenn die Wahrscheinlichkeitvon B Null ist.

Betrachten wir nun ein Beispiel zur Anwendung der Formel. Was bedeutet aber P A B? Man wirft einen Wrfel, zeige uns aber nicht das Ergebnis und fragt uns: Wiegro ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eingetreten ist? Jetzt sagt man uns: Das Ergebnis ist keine 6, d.

Wir haben nun eine Zusatzinfor-mation ber das Ergebnis. Wir wissen, dass die Augenzahl keine 6 ist. Das ndertunsere Einschtzung ber die Wahrscheinlichkeit der Augenzahl und wir knnenunsere Einschtzung ber die Wahrscheinlichkeit von A korrigieren.

Das Ergebnis liegt in B, bestehend aus 5 Elementarereignissen. Davon sind zweiZahlen gerade. Wir berechnenalso zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten fr das Ereignis A: Ohne Zusatzinformation die Wahrscheinlichkeit von A: Die bedingte Wahrscheinlichkeitvon A gegeben B ist also die renormierte Wahrscheinlichkeit von A, wenn wir diezustzliche Information haben, dass B eingetreten ist.

Noch ein letztes Beispiel zu den bedingtenWahrscheinlichkeiten. Also sagt uns die Zusatz-information, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von A Null sein muss. Sie ist auch sehr wichtig, weil bedingte Wahrscheinlichkeiten in der Pra-xis eine groe Rolle spielen.

Dies soll an einem Beispiel erlutert werden, das vongrerer Bedeutung ist als ein Wrfelwurf: Nehmen wir an, dass A das Ereignis ist,dass eine Person das Es ist nicht besonders einfach, die Wahr-scheinlichkeit eines solchen Ereignisses zu schtzen. Nehmen wir an, wir htten esirgendwie geschafft, die folgende Wahrscheinlichkeit zu bestimmen:

Masterarbeit

Es gibt viele Mglichkeiten, Stichproben auszuwhlen, die nicht reprsentativsind:

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